Tačka

Rastojanje dve tačke \( A=(x_1,y_1)\) i \( B=(x_2,y_2)\)

$$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

Rastojanje dve tačke

Podela duži \(AB, A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2)\) u datoj razmeri \(\lambda =\frac{AC}{BC}, C \in AB\):

$$x_C=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }; \; \; \; y_C=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }$$

Površina trougla čija su temena tačke \( A=(x_1,y_1), B=(x_2,y_2)\) i \( C=(x_3,y_3)\):

Površina trougla datih koordinata tačaka

$$P=\frac{1}{2}|\begin{vmatrix}x_1 &y_1 &1 \\ x_2 &y_2 &1 \\ x_3 &y_3 & 1\end{vmatrix}|$$

Prava

Eksplicitni oblik $$y=kx+n$$
\(k=\tan \varphi \) - koeficijent pravca

Implicitni oblik $$Ax+By+C=0$$

Jednačina prave kroz dve tačke \(A=(x_1,y_1)\) i \(B=(x_2,y_2)\): $$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$$ gde je \(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\tan \varphi \) koeficijent pravca te prave.

Jednačina prave kroz dve tačke

Segmentni oblik: $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$

Ugao između pravih \(y=k_1x+n_1\) i \(y=k_2x+n_2\) određujemo iz uslova: $$\tan \varphi =\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}$$

Paralelne prave \(y=k_1x+n_1\) i \(y=k_2x+n_2\) su kada je: $$k_1=k_2$$
Jednačina prave paralelna datoj

Normalne prave \(y=k_1x+n_1\) i \(y=k_2x+n_2\) su kada je: $$k_1 \cdot k_2=-1$$
Jednačina prave normalna na datu

Normalni oblik jednačine prave: $$x\cos \varphi +y\sin \varphi - p=0$$ (\(p\) je dužina normale povučene iz koordinatnog početka na pravu, a \(\varphi \) je ugao između normale i pozitivnog dela \(x\)-ose).

Rastojanje \(d\) tačke \(M=(x_0,y_0)\) od prave date u normalnom obliku je: $$d=\left | x_0\cos \varphi +y_0\sin \varphi -p \right |$$

Za pravu datu u implicitnom obliku \(Ax+By+C=0\), normalan oblik je: $$\frac{Ax+By+C}{\pm \sqrt{A^2+B^2}}=0$$ (predznak korena je suprotan znaku koeficijenta \(C\))

Rastojanje \(d\) tačke \(M=(x_0,y_0)\) od prave \(Ax+By+C=0\) je: $$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Kružnica

Kanonski oblik (centar u tački \(C=(a,b)\) i poluprečnikom \(r\)): $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Opšti oblik $$x^2+y^2+px+qy+m=0$$ pri čemu su koordinate centra \(a=-\frac{p}{2}, b=-\frac{q}{2}\), a poluprečnik $$r=\sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^2+\left ( \frac{q}{2} \right )^2-m}$$
Jednačina kružnice

Tangenta kružnice \(x^2+y^2=r^2\) je prava \(y=kx+n\) ako je $$r^2(k^2+1)=n^2$$
a kruga \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), ako je $$r^2(k^2+1)=(ka-b+n)^2$$

Jednačina tangente kružnice \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) u tački dodira \(D=(x_1,y_1)\) glasi: $$(x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2$$

Elipsa

Jednačina elipse je $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ pri čemu je \(c^2=a^2-b^2\) a tačke \(F_1=(-c,0),F_2=(c,0)\) su žiže (fokusi) elipse.
Jednačina elipse

Parametri elipse:

  • Velika poluosa je \(a\), a mala \(b\);
  • Radijus vektori tačke elipse \(M=(x,y)\) su dužina $$r_1=F_1M=a-\frac{c}{a}x, \; \; r_2=F_2M=a+\frac{c}{a}x$$
  • Linearni ekscentricitet je rastojanje žiže od centra elipse: $$c=\sqrt{a^2-b^2}$$
  • Numerički ekscentricitet je $$e=\frac{c}{a}$$
  • Direktrise elipse: $$x=-\frac{a}{e} \text{ i } x=\frac{a}{e}\text{ ili }x=-\frac{a^2}{c} \text{ i }x=\frac{a^2}{c}$$
  • Parametar elipse je $$p=\frac{b^2}{a}$$

Tangenta elipse je prava \(y=kx+n\) ako je ispunjen uslov dodira: $$a^2k^2+b^2=n^2$$

Jednačina tangente elipse u njenoj tački \(M=(x_1,y_1)\) je $$\frac{x\cdot x_1}{a^2}+\frac{y\cdot y_1}{b^2}=1$$

Hiperbola

Jednačina hiperbole je $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ pri čemu je \(c^2=a^2+b^2\) a tačke \(F_1=(-c,0),F_2=(c,0)\) su žiže (fokusi) elipse.
Jednačina hiperbole

Parametri hiperbole:

  • Realna poluosa je \(a\), a imaginarna \(b\);
  • Radijus vektori tačke hiperbole \(M=(x,y)\) su dužina $$r_1=F_1M=\frac{c}{a}x-a, \; \; r_2=F_2M=\frac{c}{a}x+a$$
  • Linearni ekscentricitet je rastojanje žiže od centra hiperbole: $$c=\sqrt{a^2+b^2}$$
  • Numerički ekscentricitet je $$e=\frac{c}{a}$$
  • Direktrise hiperbole: $$x=-\frac{a}{e} \text{ i } x=\frac{a}{e}\text{ ili }x=-\frac{a^2}{c} \text{ i }x=\frac{a^2}{c}$$
  • Parametar hiperbole je $$p=\frac{b^2}{a}$$

Jednačine asimptota hiperbole su: $$y=-\frac{b}{a}x \text{ i }y=\frac{b}{a}x$$

Uslov da prava \(y=kx+n\) dodiruje hiperbolu je $$a^2k^2-b^2=n^2$$

Jednačina tangente hiperbole u njenoj tački \(M=(x_1,y_1)\) je $$\frac{x\cdot x_1}{a^2}-\frac{y\cdot y_1}{b^2}=1$$

Parabola

Jednačina parabole čija je žiža (fokus) tačka \(F=(\frac{p}{2},0)\), a direktrisa prava \(x=-\frac{p}{2}\) je $$y^2=2px$$
Jednačina parabole

Jednačina parabole čija je žiža (fokus) tačka \(F=(0,\frac{p}{2})\), a direktrisa prava \(y=-\frac{p}{2}\) je $$x^2=2py$$

Uslov da prava \(y=kx+n\) dodiruje parabolu je $$p=2kn$$

Jednačina tangente parabole u njenoj tački \(M=(x_1,y_1)\) je $$y\cdot y_1=p(x+x_1)$$