Opšta svojstva

Običan četvorougao

U svakom četvorouglu zbir unutrašnjih uglova iznosi \(360^{\circ}\). $$\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^{\circ}$$

Zbir spoljašnjih uglova svakog četvorougla iznosi \(360^{\circ}\). $$\alpha_1+\beta_1+\gamma_1+\delta_1=360^{\circ}$$

Zbir unutrašnjeg i odgovarajućeg spoljašnjeg ugla četvorougla je opružen ugao. $$\alpha+\alpha_1=180^{\circ}; \beta+\beta_1=180^{\circ}; \gamma+\gamma_1=180^{\circ}; \delta+\delta_1=180^{\circ}$$

Duži koje spajaju naspramna temena četvorougla (\(d_1=AC\) i \(d_2=BD\)) zovemo dijagonale četvorougla.

Prema paralelnosti naspramnih stranica četvorouglove delimo na:

  • paralelograme – četvorouglovi koji imaju dva para paralelnih stranica
  • trapeze – to su četvorouglovi koji imaju samo jedan par paralelnih stranica
  • četvorouglove koji nemaju paralelnih stranica.

Paralelogram

paralelogram

Svaki paralelogram ima:

  • jednake naspramne stranice: \(AB = CD, AD = CB\)
  • jednake naspramne uglove: \( \measuredangle DAB = \measuredangle BCD, \measuredangle ABC = \measuredangle CDA\)
  • susedne uglove suplementne: \(\measuredangle DAB + \measuredangle ABC = 180^{\circ}\).

Visina paralelograma je duž normalna na prave koje sadrže naspramne stranice paralelograma. Visina paralelograma jednaka je rastojanju između paralelnih stranica.

Četvorougao je paralelogram ako važi jedno od sledećih tvrđenja:

  • Dve naspramne stranice su jednake i paralelne.
  • Naspramne stranice su jednake.
  • Naspramni uglovi su jednaki.
  • Susedni uglovi su suplementni.
  • Dijagonale se polove.

Romb

romb

Dijagonale su simetrale uglova romba i međusobno su normalne.

Romb je osnosimetrična figura i ima dve ose simetrije - prave kojima pripadaju njegove dijagonale. Dijagonale dele romb na četiri podudarna trougla.

U romb se može upisati kružnica. Centar upisane kružnice je zajednička tačka dijagonala romba, a poluprečnik je jednak rastojanju od centra do svake stranice i jednak je polovini visine romba: \(r=\frac{h}{2}\).

Pravougaonik

pravougaonik

Pravougaonik je paralelogram čiji su uglovi pravi.

Dijagonale pravougaonika su jednake: \(d_1=d_2=d\).

Oko pravougaonika se može opisati kružnica. Centar opisane kružnice je tačka preseka dijagonala, a poluprečnik je jednak polovini dijagonale: \( r=\frac{d}{2}\)

Kvadrat

kvadrat

Kvadrat je paralelogram s jednakim stranicama i jednakim uglovima.

Dijagonale kvadrata su jednake i polove se pod pravim uglom: \(d_1=d_2=d\).

U kvadrat se može upisati kružnica. Oko kvadrata se može opisati kružnica. Centar opisane i upisane kružnice je presečna tačka dijagonala.

Poluprečnik opisane kružnice je polovina dijagonale: \( r_o=\frac{d}{2}\), a poluprečnik upisane kružnice je polovina stranice kvadrata: \( r_u=\frac{a}{2}\).

Trapezi

trapez

Paralelne osnovice trapeza \(ABCD\) na slici su \(AB\) i \(DC\), a kraci \(AD\) i \(BC\).

Stranice trapeza obeležavamo kao na crtežu, gde su \(a\) i \(b\) dužine osnovica, a \(c\) i \(d\) dužine krakova.

Dužine dijagonala trapeza obeležavamo sa \(d_1\) i \(d_2\).

Unutrašnji uglovi trapeza na istom kraku su suplementni. $$\alpha+\delta=180^{\circ}; \beta+\gamma=180^{\circ}$$

Srednja linija trapeza je duž koja spaja središta krakova trapeza: $$ m=\frac{a+b}{2}$$

Visina trapeza \(h\) je duž normalna na prave koje sadrže osnovice i jednaka je rastojanju između osnovica trapeza.

jednakokraki trapez

Jednakokraki trapez je trapez čiji su kraci jednaki: $$AB\parallel CD,AD=BC$$:

  • Uglovi jednakokrakog trapeza na jednoj osnovici su jednaki.
  • Dijagonale jednakokrakog trapeza su jednake.
  • Oko jednakokrakog trapeza može se opisati kružnica. Simetrale oba kraka i simetrala osnovica seku se u jednoj tački.
pravougli trapez

Pravougli trapez je trapez čiji je jedan krak normalan na osnovice: $$AB\parallel CD, AD\perp AB$$.

Deltoid

deltoid

Deltoid je četvorougao koji ima dva para jednakih susednih stranica: $$AB = AD; CB = CD$$

Dijagonala deltoida koja spaja temena koja su zajedničke tačke jednakih stranica je simetrala druge dijagonale. Osa simetrije je dijagonala koja spaja temena koja su zajedničke tačke jednakih stranica. U deltoid se može upisati kružnica.

Obim i površina

Kvadrat

površina kvadrata

$$O=4\cdot a$$ $$ P=a^2$$ $$P=\frac{d^2}{2}$$


Pravougaonik

površina pravougaonika

$$O=2\cdot a+2\cdot b$$

$$P=a\cdot b$$


Paralelogram

površina paralelograma

$$O=2\cdot a+2\cdot b$$ $$P=a\cdot h_a=b\cdot h_b$$


Romb

površina romba

$$O=4\cdot a$$ $$ P= a\cdot h $$ $$P=\frac{d_1 \cdot d_2}{2}$$


Trapez

površina trapeza

$$O=a+b+c+d$$ $$P=\frac{a+b}{2} \cdot h=m \cdot h$$


Deltoid

površina deltoida

$$O=2\cdot a+2\cdot b$$ $$P=\frac{d_1 \cdot d_2}{2}$$