Determinate

Izračunavanje determinate trećeg reda $$\begin{vmatrix}a &b \\ c &d \end{vmatrix}=ad-bc$$

Izračunavanje determinate trećeg reda $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=$$
$$=a_{11}\cdot \begin{vmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{21}\cdot \begin{vmatrix}a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{31}\cdot \begin{vmatrix}a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix}$$

Sarusovo pravilo: $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}\begin{matrix}a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \\ a_{31} &a_{23} \end{matrix}=$$ $$=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}$$
$$-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21}a_{12}$$

Vrednost determinate

  • Ne menja se, ako:
    • sve vrste i odgovarajuće kolone zamene mesta
    • jednoj vrsti (koloni) dodamo drugu pomnoženu nekim bojem;
  • Menja znak ako dve vrste (kolone) zamene mesta;
  • Uvećava se \(k\) puta ako jednu vrstu (kolonu) pomnožimo sa \(k\);
  • Jednaka je nuli, ako:
    • jedna vrsta (kolona) sadrži samo nule;
    • dve vrste (kolone) su jednake;
    • dve vrste (kolone) su proporcionalne;

Matrice

Transponovanje matrice $$A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix},A^T=\begin{pmatrix}a & c\\ b & d \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\\ e & f \end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}a & c & e\\ b & d & f \end{pmatrix}$$

Sabiranje i oduzimanje matrica $$A\pm B=\begin{pmatrix}a &b \\ c &d \end{pmatrix}\pm \begin{pmatrix}x &y \\ z &u \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}a\pm x &b\pm y \\ c\pm z &d\pm u \end{pmatrix}$$

Množenje matrice brojem $$n\cdot A=n\cdot \begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\cdot a & n\cdot b\\ n\cdot c & n\cdot d \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}a\cdot n & b\cdot n\\ c\cdot n & d\cdot n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}\cdot n=A\cdot n$$

Množenje matrica $$\begin{pmatrix}a &b \end{pmatrix}_{1\times 2}\cdot \begin{pmatrix}x &y \\ z &u \end{pmatrix}_{2 \times 2}=\begin{pmatrix}ax+bz & ay+bu\end{pmatrix}_{1\times 2}$$ $$\begin{pmatrix}a &b \\ c &d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x &y \\ z &u \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ax+bz &ay+bu \\ cx+dz &cy+du \end{pmatrix}$$

Inverzna matrica kvadratne matrice $$ A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}\Rightarrow \left | A \right |=detA=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc$$ $$ A^{-1}=\frac{1}{det A}\begin{pmatrix} d &-b\\ -c&a \end{pmatrix}$$