Kompleksni brojevi

Uvodimo ih jednakošću: $$i=\sqrt{-1}$$

  • \(i^2=-1\)
  • \(i^3=i^2\cdot i=-i\)
  • \(i^4=i^3\cdot i=-i^2=1\)

Stepenovanje

  • \(i^{4n}=1\)
  • \(i^{4n+1}=i\)
  • \(i^{4n+2}=-1\)
  • \(i^{4n+3}=-i\)

Algebarski oblik kompleksnog broja $$z=x+iy$$ $$Re(z)=x; \; Im(z)=y$$

Operacije sa kompleksnim brojevima

  • \((a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)\)
  • \((a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)\)
  • \((a+ib)\cdot (c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)\)
  • \(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{a+bi}{c+di}\cdot \frac{c-di}{c-di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i\)

Za kompleksan broj \(z=a+ib\) njemu konjugovan broj je \(\overline{z}=a-ib\)

Moduo (modul) kompleksnog broja \(z=a+ib\) je $$\left | z \right |=\sqrt{a^2+b^2}$$ $$z\cdot \overline{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2=\left | z \right |^2$$

Kompleksna ravan

Argument kompleksnog broja, ugao \(\varphi =\arg z\), određen je iz uslova: $$\cos \varphi =\frac{a}{r}, \; \sin \varphi =\frac{b}{r}; \; \; \; \; 0\leq \varphi <2\pi $$ $$\text{Arg}\; z\arg z+2k\pi$$

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja $$z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$$

Za \(z_1=r_1(\cos \varphi_1 +i\sin \varphi_1 )\) i \(z_2=r_2(\cos \varphi_2 +i\sin \varphi_2 )\) važe pravila:

  • \(z_1z_2=r_1r_2(\cos (\varphi _1+\varphi_2) +i\sin (\varphi _1+\varphi_2 ))\)
  • \(\frac{z_1}{z_2}=r_1r_2(\cos (\varphi _1+\varphi_2) +i\sin (\varphi _1+\varphi_2 ))\)
  • Moavrova formula: \(z^n=r^n(\cos n\varphi +i\sin n\varphi )\)
  • Sva rešenja jednačine \(w^n=z\), (ima ih tačno \(n, n \in \mathbb{N}\)) su \(n\)-ti koreni iz kompleksnog broja \(z\) i pod \(\sqrt[n]{z}\) pordazumeva se skup vrednosti \(\left \{ w_0,w_1,\cdots ,w_{n-1} \right \}\), gde je $$w_k=\sqrt[n]{r}\left ( \cos \frac{\varphi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2k\pi}{n} \right ),$$ $$ k=0,1,...,n-1$$