Rešenja kvadratne jednačine

Rešenja jednačine: $$ax^2+bx+c=0 $$ $$ a,b,c\in R,\; \; a\neq 0 $$

  • \(a,b,c\neq 0\) $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
  • \(a\neq 0, b=c=0\) $$ax^2=0\Leftrightarrow x=0$$
  • \(a,c \neq 0,b=0\) $$ax^2+c=0\Leftrightarrow x_{1,2}=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$$
  • \(a,b\neq 0, c=0\) $$ax^2+bx=0\Leftrightarrow x=0\vee x=-\frac{b}{a}$$

Priroda i znak rešenja kvadratne jednačine

Neka je \(D=b^2-4ac\) i koeficijent \(a>0\)

  • Rešenja su realna i različita ako i samo ako je \(D>0\);
    • za \(c>0\) rešenja su istog znaka, suprotnog od znaka koeficijenta \(b\);
    • za \(c<0\) rešenja su suprotnog znaka, a ono od rešenja čija je apsolutna vrednost veća, suprotnog je znaka od znaka koeficijena \(b\);
  • Rešenje jednačine je realno dvostruko kada je \(D=0\);
  • Rešenja su konjugovano kompleksna kada je \(D<0\).

Vietove formule

Između rešenja \(x_1\) i \(x_2\) kvadratne jednačine \(ax^2+bx+c=0\) i njenih koeficijenata postoje relacije: $$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ $$ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

Često korišćeni izrazi:

  • $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$
  • $$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$$
  • $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$
  • $$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}$$
  • $$x_1^4+x_2^4=(x_1+x_2)^4-2x_1x_2(2(x_1+x_2)^2-x_1x_2)$$

Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioce

Ako su \(x_1\) i \(x_2\) rešenja kvadratne jednačine \(ax^2+bx+c=0\), tada je $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$