Proporcija

Varijante zapisivanja: $$a:b=c:d\Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$ $$\Leftrightarrow a\cdot d=b\cdot c$$

Produžena proporcija $$a:b=c:d=e:f=g:h$$ $$\Leftrightarrow a:b=(c\cdot e\cdot g):(d\cdot f\cdot h)$$

Račun podele i mešanja

Broj \(m\) delimo na delove \(x\) i \(y\) u razmeri \(a:b\) rešavanjem proporcije \(x:y=a:b\) i uz uslov da je \(x+y=m\): $$x=\frac{m}{a+b}\cdot a; \; y=\frac{m}{a+b}\cdot b$$

Broj \(m\) delimo na delove \(x,y\) i \(z\) u razmeri \(a:b:c\) rešavanjem proporcije \(x:y:z=a:b:c\) i uz uslov da je \(x+y=m\): $$ x=\frac{m}{a+b+c}\cdot a; $$ $$ y=\frac{m}{a+b+c}\cdot b; $$ $$ z=\frac{m}{a+b+c}\cdot c$$

Primene proporcije

Zlatni presek

Delovi duži \(a\) i \(b\) ukupne dužine \(a+b\) su u zlatnom preseku ako važi: $$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$$

Procenat

\(p\)-procenat, \(G\)-glavnica, \(P\)-procentni iznos

$$G:100=P:p$$

$$G:P=100:p$$

\(G=\frac{100\cdot P}{p};\) \( P=\frac{p\cdot G}{100};\) \( p=\frac{100\cdot P}{G}\)

Kamatni račun

\(p\) - procentna stopa, \(K\) - kapital ili glavnica, \(I\) - interes ili kamata (u valutnom iznosu), \(t\) - vreme

$$I=\frac{K\cdot p}{100}\cdot t$$

Ista formula ako je vreme dato u godinama \(g\) , mesecima \(m\) ili danima \(d\) glasi:

$$I=\frac{K\cdot p}{100}\cdot g;\; I=\frac{K\cdot p}{1200}\cdot m;\; I=\frac{K\cdot p}{36500}\cdot d;$$

"Kamata na kamatu" za \(n\) godina ili \(m\) meseci:

$$K_n=K\cdot \left ( 1+\frac{p}{100} \right )^n$$

$$K_m=K\cdot \left ( 1+\frac{p}{1200} \right )^m$$