Uglovi trougla

unutrašnji i spoljašnji uglovi trougla

Prema uglovima, sve trouglove delimo na:

  • oštrougle (sva tri ugla su oštra);
  • pravougle (jedan prav, dva oštra);
  • tupougle (jedan tup, dva oštra).

U svakom trouglu zbir unutrašnjih uglova iznosi \(180^{\circ}\). $$\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$$

Zbir spoljašnjih uglova svakog trougla iznosi \(360^{\circ}\). $$\alpha_1+\beta_1+\gamma_1=360^{\circ}$$

Zbir unutrašnjeg i odgovarajućeg spoljašnjeg ugla trougla je opružen ugao. $$\alpha+\alpha_1=180^{\circ}; \beta+\beta_1=180^{\circ}; \gamma+\gamma_1=180^{\circ}$$

Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusedna unutrašnja ugla. $$\alpha_1=\beta+\gamma; \beta_1=\alpha+\gamma; \gamma_1=\alpha+\beta$$

Stranice trougla

stranice i uglovi trougla

Prema dužini stranica, sve trouglove delimo na:

  • raznostrane (sve stranice su različite dužine): $$a\neq b\neq c$$
  • jednakokrake (dve stranice su jednake i zovemo ih kraci, treću zovemo osnovica): $$ a\neq b=c $$
  • jednakostranične (sve tri stranice su jednake, i sva tri ugla jednaka (\(60^{\circ}\)): $$a=b=c$$

Zbir dužina svake dve stranice veći je od dužine treće stranice i razlika svake dve stranice manja je od treće stranice. $$\left | a-b \right |<c<a+b$$ $$\left | b-c \right |<a<b+c$$ $$\left | c-a \right |<b<c+a$$

Naspram jednakih stranica nalaze se jednaki uglovi, i obratno, naspram jednakih uglova nalaze se jednake strance.

Naspram veće stranice je veći ugao, i obratno, naspram većeg ugla, veća je stranica:

  • npr., ako je \(a<c<b\) tada je \(\alpha<\gamma<\beta\), ili
  • npr., ako je \(\gamma<\alpha<\beta\) tada je je \(c<a<b\)

Značajne tačke trougla

Centar opisane kružnice trougla \(O_o\)

centar opisane kružnice oko trougla

Centar opisane kružnice trougla \(O_o\) nalazi se u preseku simetrala stranica trougla a poluprečnik je \(r_o=O_oA=O_oB=O_oC\). Centar opisane kružnice pravouglog trougla nalazi se na polovini hipotenuze.

Centar upisane kružnice trougla \(O_u\)

upisani krug u trougao

Centar upisane kružnice trougla \(O_u\) nalazi se u preseku simetrala uglova trougla a poluprečnik je \(r_u=O_oP\).

Težište trougla \(T\)

težište trougla

Težište trougla \(T\) nalazi se u preseku težišnih duži trougla: \(t_a \cap t_b \cap t_c=T\). Pri tom je \(AT=2TA_1; BT=2TB_1; CT=2TC_1 \).

Ortocentar trougla \(H\)

ortocentar trougla

Ortocentar trougla \(H\) nalazi se u preseku pravih kojima pripadaju visine trougla: \(h_a \cap h_b \cap h_c=H\).

Obim i površina trougla

obim i površina trougla

Za svaki trougao je: $$O=a+b+c$$ $$P=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$$

Obim jednakokrakog trougla je $$O=a+2b$$ a obim jednakostraničnog trougla je $$O=3a$$

obim i površina pravouglog trougla

Površina pravouglog trougla se računa kao $$ P=\frac{a\cdot b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$$