Koordinate vektora

Uređeni par međusobno normalnih jediničnih vektora \(\vec{i},\vec{j}\) zovemo baza pravouglog koordinatnog sistema u ravni, a uređena trojka \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\) međusobno normalnih jediničnih vektora čini bazu pravouglog koordinanog sistema u prostoru. Svaki vektor se na jedinstven način može prikazati u obliku: $$\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=(x,y,z)$$

Osobine vektora

Ako je \(\vec{a}=(a_x,a_y,a_z),\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)\), tada je: $$\vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z)$$ $$\lambda \vec{a}=(\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z), \; \; \lambda \in \mathbb{R}$$ $$\left | \vec{a} \right |=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$$

Ako su \(\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots ,\vec{v_n}\) i \(\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _n\) realni brojevi, izraz $$\alpha _1\vec{v_1}+\alpha _2\vec{v_2}+\cdots +\alpha _n\vec{v_n}$$ zovemo linearna kombinacija vektora \(\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots ,\vec{v_n}\).

Ako iz jednakosti \(\alpha _1\vec{v_1}+\alpha _2\vec{v_2}+\cdots +\alpha _n\vec{v_n}=\vec{0}\) sledi da je \(\alpha _1=\alpha _2=\cdots \alpha _n=0\) , kaže se da su vektori \(\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots ,\vec{v_n}\) linearno nezavisni. U suprotnom, kažemo da su linearno zavisni.

Za \(n=2\), ne-nula vektori \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni, tj. ako su prave kojima pripadaju paralelne.

Za \(n=3\), ne-nula vektori \(\vec{a},\vec{b}\) i \(c\) su linearno zavisni ako i samo ako su koplanarni, tj. ako su prave kojima pripadaju paralelne istoj ravni.

Skalarni proizvod

Skalarni proizvod je broj: $$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \measuredangle (\vec{a},\vec{b})$$

Osobine skalarnog proizvoda: $$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$$ $$(\lambda \vec{a})\cdot \vec{b}=\lambda (\vec{a}\cdot \vec{b})$$ $$\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}$$ $$\vec{a}\cdot \vec{b}=0\Leftrightarrow \vec{a}\perp \vec{b}$$

Za vektore date preko koordinata je: $$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z$$

Ugao \(\measuredangle (\vec{a},\vec{b})\) izračunavamo iz jednakosti: $$\cos \measuredangle (\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$$

Vektorski proizvod

Vektorski proizvod \(\vec{a}\times \vec{b}\) vektora \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) je vektor koji ima sledeća svojstva:

  • \(|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \measuredangle (\vec{a},\vec{b})\);
  • vektor \(\vec{a}\times \vec{b}\) je normalan i na \(\vec{a}\) i na \(\vec{b}\);
  • trojka \(\vec{a},\vec{b},\vec{a}\times \vec{b}\) je pozitivno orijentisana.

Osobine vektorskog proizvoda:

  • $$\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$$
  • $$(\lambda \vec{a})\times \vec{b}=\lambda (\vec{a}\times \vec{b})$$
  • $$(\vec{a}+\vec{b})\times \vec{c}=\vec{a}\times \vec{c}+\vec{b}\times \vec{c}$$
  • $$\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}\Leftrightarrow \vec{a}\parallel \vec{b}$$
  • Ako je \(\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)\) i \(\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)\), onda je $$\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$$.

Mešoviti proizvod

Mešoviti proizvod tri vektora \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) je skalar: $$\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})$$

Osobine mešovitog proizvoda:

  • \(\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})=\vec{b}\cdot (\vec{c}\times \vec{a})=\vec{c}\cdot (\vec{a}\times \vec{b})\);
  • Ako je \(\vec{a}=(a_x,a_y,a_z),\vec{b}=(b_x,b_y,b_z),\vec{c}=(c_x,c_y,c_z) \), onda je $$\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})=\begin{vmatrix}a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z\\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$$

Površina paralelograma konstruisanog nad vektorima \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) je: $$P=\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |$$

Zapremina paralelopipeda konstruisanog nad vektorima \(\vec{a}, \vec{b}\) i \(\vec{c}\) je: $$V=\left | \vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c}) \right |$$